线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。线性代数在物理学、密码学、人工智能、虚拟现实中具有广泛的应用，它的计算方法在计算数学中占据了重要的地位。目前，它已经应用于自然科学和社会科学的各个学科当中。
一、n阶行列式的定义
全排列：把n个不同的元素排成一列。n个不同元素的全排列个数为：
自然排列：n个元素由小到大排列的序列，称为标准次序。
逆序：如果一个排列
中出现
，则称他们组成一个逆序。寻找逆序的方法是统计当前元素的前面比自己大的元素的个数。
逆序数：排列中所有元素的逆序数之和。计算方法为：从左往右依次计算每个元素的逆序数，然后求和得到排列的逆序数。
奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数，就是奇排列；否则，就是偶排列。
定理1：对于n个元素的排列，奇排列和偶排列各占一半，个数为
定理2：如果排列中两个元素发生一次互换，那么排列的奇偶性就会变化。
n阶行列式：n阶行列式(Determinant)是把nxn个元素（数字或表达式等）排成n行n列，如下图所示。
它的值所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和。公式的记忆方法：行标是自然排列，列标是1-n的全排列，符号根据列标全排列的奇偶性来确定。同理，由于排列的对换原理，可以得到行列式的另外两个定义：
其中，第三种是n阶行列式的一般定义。计算中，通常采用第一种或第二种，多数教材采用的是第一种定义。
二、n阶行列式的性质
性质1：行列式和它的转置行列式相等
性质2：行列式某行（或某列）元素有公因子，可以提到行列式符号的外面
性质3：行列式某行（或某列）如果是两数之和，可以按此行将行列式拆成两个行列式之和，其他行保持不变
性质4：互换行列式的两行（或两列），行列式变号
性质5：行列式中有两行(或两列)对应元素都相等，则行列式为0
性质6：行列式中的两行（或两列）对应元素成比例，则行列式为0
性质7：把行列式中的某一行（或列）各个元素乘以同一个数（非0）加到另一行（或列）对应的元素上，行列式的值不变。
性质8：如果行列式某行（或某列）元素全部都是0，则行列式为0
三、行列式按行（列）展开
余子式：在n阶行列式中划去元素
所在的行和列的所有元素，剩余元素按原来顺序排列组成一个(n-1)阶的行列式，这个行列式就是
的余子式，记为
。
代数余子式：在余子式前冠以符号
，则称之为代数余子式，记为
。因此，可以得到下面的关系：
引理：如果n阶行列式D的第i行只有元素
不为0，那么行列式的值等于：
定理1：n阶行列式D等于它任意一行各元素与其对应代数余子式的乘积之和。
同理，可以得到行列式的按列展开形式：
定理2：n阶行列式D的某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的和等于0。（原理是另一行元素被本行元素取代了，新行列式中两行相等了）
综合展开定理1和定理2，可以得到两个重要结论：
拉普拉斯定理：在n阶行列式中任选r行，然后从这r行中任选r列，构成一个r阶子式，根据组合原理，这样的r阶子式共有
个，分别记为M1，M2……，其代数余子式记作A1，A2……，那么
四、行列式的计算方法
方法1：二、三阶行列式可以使用对角线法则
例1：计算二阶行列式
例2：计算三阶行列式
方法2：0非常多的行列式可以考虑使用定义
使用方法：从0最多的行（或列）开始确定元素，选择非0元素。
例3：
由于选择第一行的0对于计算没有任何意义，因此可以确定第一行必选1（a14位置），选中后将此元素对应的行和列划去。再从第二行选择，选择非0元素2（a23位置），划去第2行和第3列；以此类推，根据定义：
例4：
解：求三次方项的系数，那么第一二行的两个x是必须选中的，否则无法得到3次方项。第三行和第4行都有一个x，那么选择方法有两种：
因此，两项合并之后，三次方项的次数为-1。
方法3：特殊行列式
特殊行列式包括：上三角行列式、下三角行列式、对角行列式
上三角行列式：主对角线元素的乘积
下三角行列式：主对角线元素的乘积
副对角线上的三角矩阵：副对角线元素的乘积，符号与阶数相关。
对角行列式是上面4种特殊行列式的特例，因此计算方法完全一致。
例5：计算行列式
解：左边行列式=1 x 2 x 3 x 4 = 24
右边行列式= -1x 2 x (-3) =6
例6：计算行列式
解：过程如下
例7：计算行列式
解：答案和例6一致。
例8：计算行列式
解:计算如下：
方法4：使用性质计算行列式
（1）利用性质7
技巧：将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式
例9：计算行列式
解：计算过程如下
（2）“行（列）和相等”的行列式
技巧：先把所有的行（列）都往第一行（列）上加，然后提取公因子
例10：计算行列式
解：计算过程如下：
同理，可以将其他行加到第一行，然后提取公因子。
（3）
型行列式
技巧：使用对角元素消去第一行或第一列（依次将各列【行】的某个倍数加到第一列【行】）
例11：计算行列式
解：依次将各列的-1倍加到第一列：
方法5：降阶法
技巧：用0比较多的行进行展开
（1）普通降阶计算
例12：计算行列式
解：直接按照第3列展开：
（2）
型行列式（两线一点）
技巧：按照有点的那一行（列）展开
例13：计算行列式
解：按照第一例展开：
方法6：递推法
（1）
型行列式（双线+一横或一竖）
技巧：和”两线一点“类型的行列式一样，从只有两个元素的列（行）展开，然后可以找规律递推。
例14：计算行列式
（2）
型不等式（三线型）
技巧：递推法，然后使用特征根法（递推法）求解。
此递推式可以使用递推法或者特征根法，特征解得如下：
因此，可以得到通项公式：
方法7：升阶法
技巧：如果行列式中相同得元素很多而且有显著得规律，通过升阶法，通常会将行列式变成
型行列式
方法8：数学归纳法
技巧：先计算1阶和2阶行列式，然后假设k阶成立，证明(k+1)阶成立。这类行列式有明显的递推规律。
（1）范德蒙德行列式
证明：数学归纳法
记忆方法：将第二行元素依次排列，使用后面的元素减去第一个位置的元素，然后将删除这个元素，重复上述操作，直到只剩下2个元素为止。因此，总共有n(n-1)/2项。
范德蒙德行列式的应用：
（1）计算行列式
解：第二行元素分别时2、3、4、5，那么按照依次相减的策略，得到：
五、克拉默（克莱姆）法则
定理（Cramer法则）：如果线性方程组
的系数行列式
那么，这个方程组有唯一解：
其中，分子
就是用常数项将系数行列式的第j列替换掉得到的新行列式。
值得注意的是：
1、如果系数行列式为0，不能使用克拉默法则
2、如果方程个数和未知数个数不相等，不能使用克拉默法则
例题：使用克拉默法则解方程组
解：首先计算系数行列式
因此，该方程组可以使用克拉默法则进行计算。下面使用常数项替换系数行列式的第一列：
于是可以得到x1的值：
同理，替换系数行列式的第2列，可以得到：
计算得到x2的值：
同理，可以计算出所有的未知数的解：
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